Эффективность разностных методов решения задач нелинейной волновой оптики в значительной мере определяется порядком точности, при этом схемы до четвертого порядка точности имеют традиционную архитектуру трехточечных шаблонов и стандартные условия реализации алгоритмов. Однако дальнейшее повышение порядка в общем случае сопряжено с необходимостью расширять шаблоны, применяя многоточечные разностные аппроксимации производных. Использование таких схем вынуждает формулировать дополнительные граничные условия, не свойственные дифференциальной задаче, и приводит к необходимости обращать матрицы ленточной структуры, отличные от традиционных трехдиагональных. Классификация множества двухслойных разностных схем любого порядка точности для уравнения Шредингера, построенных на произвольных многоточечных шаблонах, по свойствам корректности (т. е. абсолютной, условной устойчивости или абсолютной неустойчивости) проведена докладчиком ранее, результаты докладывались на данном семинаре в феврале 2020 года. В общем случае произвольного шаблона это исследование имеет лишь академический интерес, но при шаблонах, не слишком широких, например, 5-или-7-точечных, такие схемы  технически могли бы быть реально реализованы, поэтому их следует оценить на предмет эффективности.

Исключение из названных выше схем является метод коррекции Ричардсона, ориентированный на повышение порядка точности путем построения специальных линейных комбинаций приближенных решений, полученных на вложенных сетках по схемам традиционной структуры.  Этот метод  привлекателен тем, что его применение повышает порядок точности одновременно по всем переменным, а также тем, что метод не требует ни постановки дополнительных граничных условий, ни  обращения сложных матриц.

В докладе излагаются результаты исследования ряда явных и неявных разностных схем до восьмого порядка точности для уравнения Шредингера. Наряду с многоточечными схемами  рассматривается также метод коррекции Ричардсона в приложении к классической компактной схеме четвертого порядка.  Проведено сравнение методов по характеру устойчивости, по степени сложности реализации и, главным образом,  по  оценке объема вычислений, необходимых для достижения заданной реальной точности. 
 

Cеминар пройдёт в онлайн формате, подключение будет осуществляться по ссылке:

https://vcs-3.ict.sc/b/gus-s1x-jdx-7cn

Запись семинра:

https://vcs-3.ict.sc/playback/presentation/2.0/playback.html?meetingId=4d7c4b3f965fc189d9c6cb8ab68b0b07550bfb03-1638261983576